Применение элементов теории массового обслуживания для нормирования численности наладчиков автоматизированного производства

Наибольший интерес с точки зрения нормирования работы наладчиков по обслуживанию автоматизированных линий представляет определение их численности, необходимой для выполнения случайных ремонтных работ. Почему случайных? Потому что капитальный и средний ремонт закладывается на межсезонные временные промежутки, когда интенсивность выпуска минимальна и оборудование можно остановить без потерь для выполнения производственного плана. А из общения с представителями технической службы, становиться понятно, что они не могут предсказать момент остановки линии в результате непредвиденного сбоя.

При этом если это одна производственная линия, то это полбеды, но если их несколько, то порою бывает до 2 -3 поломок различной сложности в неделю. На устранение которых может уходить от 30 минут, до 5-7 часов. А это незапланированный простой и потеря денег. В результате мы имеем постоянные жалобы отдела наладки оборудования на нехватку персонала и периодически несем убытки из-за значительного простоя техники по причине невозможности быстро выявить и устранить неожиданный сбой. Как итог этого, регулярно возникают споры по поводу того, сколько же нужно людей для этой работы и каков их оптимальный численный состав.

Можно ли как-то устранить такое положение дел? Идеального решения, в силу специфики того или иного производства, вероятнее всего нет, но вот определенные наработки в этой области есть и связаны они с использованием элементов теории массового обслуживания. Почему именно элементов? Потому что понять весть математический аппарат этого направления математического моделирования специалисту по нормированию труда будет довольно сложно, если не сказать невозможно. Хотя, впрочем, на практике для прикладного использования это и не нужно, достаточно взять отдельные наработки, приведенные в учебниках и специализированной литературе. Далее будет приведен пример вычислений плановой нормативной численности, для того чтобы наглядно описать механизм необходимых расчетов в том виде, чтобы его можно было сразу опробовать на практике «как есть».

Считаем минимально необходимую численность

Как и любой другой вид расчетов, связанных с нормированием, определение численности наладчиков для проведения нерегламентированных работ потребует сбора некоторого количества статистической информации. Прежде всего это среднее количество заявок на устранение поломок, поступающих в единицу времени, кроме того необходима статистика среднему количеству заявок, выполняемых в единицу времени одним наладчиком.  Для простоты исходим из того, что одной поломкой занимается один наладчик, однако, если работы ведутся бригадой, то расчет нужно будет делать для бригады, а численность считать по необходимому количеству идентичных бригад. Получить ее можно, либо просто регистрируя указанные события в специально заведенном журнале, либо собирая специальную отчетность с руководителя техотдела, либо посредством проведения фотографии рабочего времени.

 В любом случае, думаю многие специалисты согласятся, что собрать подобную информацию на практике вполне реально. Исходя из полученных данных для определения минимально необходимого количества наладчиков, нужного для выполнения случайных работ достаточно поделить одну величину на другую:

Чн =  Кзсч/Взсч

 , где

К зсч – среднее количество заявок на устранение поломок;

В зсч – среднее количество выполненных заявок наладчиком в час.

Предположим мы собрали данные по среднему количеству мелких поломок в час и количеству устраненных наладчиком по 1 линии (см. Таблицу №1):

Таблица № 1
№ п/п	Временной интервал		Продолжительность часов	Количество заявок, поступивших	Количество заявок, выполненных одним
	Начало	Конец
1	8:00	9:00	1:00	2
2	9:00	10:00	1:00		1
3	10:00	11:00	1:00	1
4	11:00	12:00	1:00	1	1
5	12:00	13:00	1:00	2	1
6	13:00	14:00	1:00
7	14:00	15:00	1:00		2
8	15:00	16:00	1:00	3
9	16:00	17:00	1:00	1
10	17:00	18:00	1:00		1
11	18:00	19:00	1:00	2
12	19:00	20:00	1:00	1	2
Итого			12:00	13	8
Среднее количество за 1 час				1,08	0,67

Исходя из этого примера, линия у нас видимо старенькая и ломается постоянно, или находится в стадии пуско-наладки. В этой таблице количество входящих и выполненных заявок просто поделили на количество рабочих часов в смене, то есть 13/12 и 8/12 соответственно.  Знаменатель формулы можно определить и другим путем, например, по формуле:

В зсч = 1 / Ввз,

Где

Ввз – среднее время выполнения одной заявки на нерегламентированный ремонт. Для этого суммируем общую продолжительность работ по нерегламентированным операциям и делим его на их количество (среднеарифметическая простая). Допустим у нас оно получилось равным 1,49 часа, тогда получим:

1/1,49 = 0,671 заявки в час.

Исходя из полученных данных, можно заключить, что для устранения всех неисправностей в течение смены нам нужно:

1,08 / 0,67 = 1,61 или 2 наладчика.

Теперь поясним, почему мы считаем именно так и как это связано с теорией массового обслуживания. В данном случае, мы рассматриваем участок наладки как многоканальную систему массового обслуживания с неограниченной очередностью. Она характеризуется интенсивностью поступления заявок y, и интенсивностью их выполнения в единицу времени m. Оба указанных параметра должны быть рассчитаны применительно к одному и тому же временному промежутку, в нашем случае к часу.

Для подобной системы массового обслуживания рассчитывается среднее количество занятых каналов (то есть пунктов обслуживания заявок, занятых их выполнением в единицу времени): k= y/m = p. По сути именно этот показатель мы и посчитали, при чем же здесь численность? Дело в том, что для многоканальных систем массового обслуживания существует правило: очередь заявок не будет возрастать до бесконечности (то есть, заявки не будут скапливаться без выполнения) при условии p/n <1 , т.е. в нашем случае при n > 1,61 . n – это количество исполнителей, получается, что минимальное количество наладчиков для того, чтобы заявки не скапливались в очереди будет равным 1,61, но мы не можем использовать 0,61 человека, поэтому численность должна быть не менее 2 наладчиков. То есть n в нашем примере равно 2.

И на этом все? Нет на этом не все, поскольку наш поток исполнения заявок характеризуется еще временем ожидания выполнения заявки и время нахождения заявки в ходе выполнения и т.д. Для производства данные показатели будут крайне важны. Далее попробуем рассчитать остальные параметры системы обслуживания, чтобы лучше понять, какая же численность будет оптимальной.

Определяем параметры технического обслуживания линии

Первоначально определим вероятность того, что заявок не будет вообще. Для этого воспользуемся формулой:

p = (1+ p^1/1!+p^2/2!+ …..+p^n/n!  + p^(n+1)/(n!(n-p)))^(-1),

, тогда получим 

= (1 + 1,61^1/1  + 1,61^2/(2 ×1)  + 1,61^3/(2 ×1 ×(2-1,61) ))^(-1)= (1+1,61+1,29605+5,35036)^(-1) = 1/((9,25641)) = 0,108033 или 11,% если перевести из долей в проценты. Что это значит?  Исходя из имеющейся статистики, 11% своего времени наладчики не будут выполнять заявки на ремонт, то есть будут простаивать.
Продублирую расчет в форме картинки, поскольку формулы здесь не вставляются:

Вероятность того, что в ходе поступления заявок на ремонт появится очередь, вычислим по формуле:

Pоч = P^(n+1)/(n! × (n-p) )×p0 или опять картинку вставим картинку с формулой:

Получим: 1,61^3/(2 ×1 ×(2-1,61) )  ×  0,108033 = 5,35036 x 0,108033 =0,578017 или 57,8%, что немало, то есть почти 60% вероятности, что при таком количестве наладчиков может возникнуть очередь из заявок на ремонт.

Теперь просчитаем среднее число заявок на ремонт линии, которые будут дожидаться своей очереди (простаивать) по формуле:

   Lоч =  (P^(n+1)  ×p0  )/(n ×n!  )  × (1- p/n)^-2 или опять используем картинку:

Расчет будет выглядеть так:

 =1,61^3/(2 ×1 ×2 ×(1-1,61/2)^2 )×0,108033 = 4,173281/1,521×0,108033

 = 2,96.

То есть, около 3 заявок будут с большой долей вероятности находиться в очереди в ожидании начала своего выполнения. Теперь нас должен интересовать наиболее интересный параметр – время ожидания в очереди – он для нас ключевой, поскольку по факту это время, которое линия будет стоять без действия, для его расчета применим формулу:

Tоч =  Lоч /y или 

Тогда получим: 2,96/ 1,08 = 2,74 часа, то есть почти 3 часа, согласитесь – это неприемлемо. Давайте пойдём дальше и определим сколько заявок одновременно будут в работе и в очереди:

Tоч + y = 2,96 + 1,61 = 4,57 заявки, тогда среднее время выполнения заявки составит 4,57 / 1,08 = 4,23 часа. 
Катастрофа, не так ли? То есть опасения начальника техслужбы оправданы, 2 наладчика будут явно перегружены работой.  Нужно пересмотреть норматив численности.

Предварительно посчитаем еще один параметр, характеризующий относительные затраты на обслуживание системы массового обслуживания:

 СOZ  =  n/y+3 × Tоч = 2/1,08 +3 х 2,74 = 10,072

Это относительная величина, которую тоже нужно оценивать в сравнивнении.

Подбор оптимальной численности наладчиков с минимизацией времени ожидания

Для анализа последствий увеличения численности наладчиков и последующего выбора нужного нам значения, просчитаем результат от привлечения большего количества работников и сведем их в таблицу (см. табл.2).

Таблица №2

№ п/п	Характеристика обслуживания	Количество наладчиков
		2	3	4	5
1	Вероятность простоя Pо	0,108	0,185	0,197	0,199
2	Среднее количество заявок в очереди Lоч	2,96	0,322	0,062	0,012
3	Время ожидания начала ремонта по заявке Точ	2,74	0,298	0,057	0,011
4	Относительные затраты Сoz	10,07	3,67	3,88	4,66

Для расчета используем все те же формулы, что приведены в предыдущем разделе. То есть для 3 наладчиков расчет будет следующий:

 = p 0 = (1+ p^1/1!+p^2/2!+ …..+p^n/n!  + p^(n+1)/(n!(n-p)))^(-1) =  (1 + 1,61^1/1  + 1,61^2/(2 ×1)+1,61^3/(3 ×2 ×1)  + 1,61^4/(2 ×1 ×(2-1,61) ))^(-1) = 1/ (1+1,61+1,29605+0,695547+6,718982/ 3 х2х 1 х (3-1,61)) = 0,184938,
или картинкой

то есть, около 18% рабочего времени наладчик будет простаивать.

  Lоч = (P^(n+1)  ×Po  )/(n ×n!)  × (1- p/n)^(-2) = 1,61^4/(3 ×2 ×1 ×3 ×(1-1,61/3)^2 )×0,184938 = 6,718982/3,8642 х 0,184938 = 0,3215

Tоч =  Lоч/y = 0,322/1,08 = 0,2977

Далее расчеты проводим абсолютно также с учетом изменения количества n. Как видим из

таблицы, минимальные относительные затраты на обслуживание системы, мы получаем при количестве наладчиков равном 3. При этом простой до начала ремонта составит в среднем всего 60 мин. х 0,298 = 17,88 минуты, при любой поломке. А количество ожидающих ответа заявок будет меньше 1.Около 19% времени наладчики могут быть заняты наблюдением за работой только что отремонтированного оборудования или выполнять другие смежные функции. Полученный таким способом результат нужно будет проверить опытным путем и сравнить расчетные значения с усредненными фактическими. Таким образом, спор с техслужбой о недостаточности наладчиков для обслуживания случайных поломок автоматизированных линий будет решен с достаточной степенью обоснованности.

Аналогичные алгоритмы можно применять для расчета количества операторов компьютера на выписке накладных, диспетчеров на телефоне, клерков занятых монотонной обработкой одного и того же типа документа.