y=ax+b;
Где b – постоянный коэффициент, отражающий
влияние всех прочих факторов;
a – коэффициент, отражающий влияние изучаемого фактора на
результат;
х – переменная, оказывающая влияние на результат (объясняющая);
y – результирующая переменная.
Применительно к нормированию, переменная y будет искомой нормой
времени или выработки, а переменная x – количественным
параметром, оказывающим на нее влияние.
Задачей исследователя при нормировании является нахождение
неизвестных коэффициентов уравнения a и b. Для этого применяем следующие формулы:
a= ((yx) ̅-y
̅x ̅)/((x^2 ) ̅-x ̅^2 );
b=y ̅-ax ̅
Как видно в формуле используются произведения средних
задействованных в функции переменных, их
вычисление не должно вызвать затруднений на практике. Рассмотрим методику расчета на основе
практического примера:
№ п/п
|
Норма времени , y (минут)
|
Длина заготовки, x мм
|
ух
|
y^2
|
x^2
|
Расчетное значение y, будущая норма
|
Отклонение Y-Yр
|
Средняя ошибка аппроксимации
|
1
|
0,6
|
50
|
30
|
0,36
|
2500
|
0,56
|
0,04
|
5,98%
|
2
|
0,95
|
65
|
61,75
|
0,9025
|
4225
|
0,90
|
0,05
|
5,79%
|
3
|
1,2
|
80
|
96
|
1,44
|
6400
|
1,23
|
- 0,03
|
2,15%
|
4
|
1,3
|
98
|
127,4
|
1,69
|
9604
|
1,62
|
- 0,32
|
24,84%
|
5
|
1,7
|
102
|
173,4
|
2,89
|
10404
|
1,71
|
- 0,01
|
0,65%
|
6
|
1,9
|
108
|
205,2
|
3,61
|
11664
|
1,84
|
0,06
|
2,98%
|
7
|
2,1
|
110
|
231
|
4,41
|
12100
|
1,89
|
0,21
|
10,12%
|
Итого
|
9,75
|
613
|
924,75
|
15,3025
|
56897
|
9,75
|
0,00
|
52,50%
|
Среднее
|
1,4
|
87,6
|
132,11
|
2,19
|
8 128,14
|
7,50%
|
||
Дисперсия
|
0,25
|
459,39
|
||||||
Среднеквадратическое
отклонение
|
0,5
|
21,4
|
Предположим у нас есть результаты средней продолжительности
резания заготовки после хронометража. Все данные разбиты на 7 строк в
зависимости от длины обрабатываемого изделия. Внизу в таблице, подсчитаны итоги
и выведены средние значения по формуле среднеарифметической простой, в нашем
случае: Строка «Итого» / 7.
Справа содержатся вспомогательные колонки, необходимые нам для
вычисления коэффициентов уравнения, их названия отражают производимые
вычисления. Тогда, применив приведенные формулы получим:
a =
(132.11 - 1.4 × 87.6)/(8128.14 - 87.6^2 )≈ 0.022;
b =
9.75 - 0.02 x 87.6 = -0.54.
Таким образом, наше искомое уравнение
примет вид:
Y= -0.54 + 0.022x
Далее в левой колонке добавляем расчетные
значения норматива, подставляя в уравнение значение длины заготовки. Для первой
строки получим:
-0,54+
0,022 х 50 =0,56 минуты.
Проделываем подобные вычисления для
всех значений фактора «Длина заготовки».
Для того чтобы убедиться в
статистической достоверности наших данных посчитаем коэффициент парной
корреляции. Коэффициент парной корреляции найдем по формуле:
rxy=((yx)
̅-y ̅x ̅)/(σx σy ), где σx ?σy– среднеквадратическое
отклонение переменных.
Среднеквадратическое
отклонение определяется по формуле:
√∑(xn-x ̅ )^2/n
Ниже приведем расчет
среднеквадратического отклонения для переменной y:
√(((0.6-1.4)^2+(0.95-1.4)^2+(1.2-1.4)^2+(1.3-1.4)^2+(1.7-1.4)^2+(1.9-1.4)^2+(2.1-1.4)^2)/7)
= 0,5 минуты
Аналогичным образом можно посчитать
среднеквадратическое отклонение и по переменной х. После чего выводим
коэффициент парной корреляции:
132,11
- 1,4 х 87,6 / 0,5*21,4 = 0,95
Чем ближе коэффициент к 1, тем теснее
связь между переменными. В нашем случае этот показатель очень высокий, то есть
связь достаточно явная и сильная. Отметим также, что если коэффициент примет
значение меньше единицы, то коэффициент парной корреляции будет колебаться в
пределах от 0 до -1. В дополнение можно
посчитать коэффициент детерминации просто возведя коэффициент корреляции в
квадрат, получим: 0,95^2=0,91
. Он также не должен быть больше единицы и характеризует долю квадратов отклонений y, объясняемых изменениями переменной x.
Последним показателем, характеризующим
качество модели, станет средняя ошибка аппроксимации:
A= 1/n∑(y-y ̂ )/y, где
y ̂ – расчетное значение результатирующего
признака,
n- общее
количество значений ряда.
Для ее расчета в отдельной колонке
сначала считаем разность между фактическим и расчетным значением y. В колонке
«Средняя ошибка аппроксимации» делим полученные результаты на фактические
значения y по каждой строке. Затем считаем итог и
делим его на 7, получаем искомую цифру в 7,5%. Это очень хороший показатель, снова
подтверждающий качество нашей модели.
Используя полученную модель можно
расчетным путем получить норму для заготовки любой длины. Подобный метод может
быть применен на практике для получения норм выработки и норм численности.
Комментариев нет:
Отправить комментарий